Электронное пособие
Геометрия 10-11 класс
Ванкеева В.А.
Аксиомы стереометрии
На прошлом уроке мы познакомились с разделом геометрии – стереометрия. Мы сказали, что основными фигурами стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Мы вспомнили, как обозначаются точки, прямые, плоскости. Давайте еще раз повторим, что точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, прямые обозначаются строчными буквами латинского алфавита, плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита. Плоскость может изображаться разными способами, но чаще всего она изображается параллелограммом. Представление о плоскости дают нам ровные поверхности, например, лист бумаги или школьная доска.
Как правило, такие предметы имеют прямоугольную форму, но если посмотреть на эти предметы под углом и на большом расстоянии, то они покажутся нам параллелограммами. Поэтому чаще всего, плоскости изображают параллелограммами или просто в виде произвольной области.
Сразу оговоримся, что хоть плоскость и изображается параллелограммом, но она понимается неограниченной во все стороны.
Очевидно, что в любой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.
Например, на нашем рисунке изображена плоскость и несколько точек.
Когда мы с вами начинали изучать планиметрию, мы начинали с аксиом планиметрии. Напомним, что аксиома – утверждение, не требующее доказательства. В аксиомах стереометрии выражаются основные свойства точек, прямых и плоскостей, которые касаются их взаимного расположения.
Прежде всего, давайте определим, сколько точек надо взять, чтобы плоскость задавалась однозначно. Если мы возьмем одну точку, то через нее можно провести не менее двух плоскостей, то есть одна точка не задает однозначно плоскость.
Возьмем две точки. Согласно аксиомам планиметрии, через две точки можно провести прямую и притом только одну, то есть две точки однозначно задают только прямую. Через эту прямую можно провести не менее двух плоскостей, то есть и две точки не задают однозначно плоскость.
Теперь давайте посмотрим на дверь. Она крепится к стене с помощью петель. И относительно петель поворачивается. Если петли обозначить точками и провести через них прямую, а полотно двери обозначить за плоскость, то получим, что плоскость поворачивается относительно прямой. Теперь давайте дверную ручку обозначим за точку, тогда получим, что прямая и одна точка задают плоскость, причем однозначно. То есть плоскость однозначно задается тремя точками. Об этом и говорит первая аксиома.
Итак, сформулируем первую аксиому. Для удобства аксиомы мы будем обозначать большой буквой А с нижним индексом, который будет обозначать номер аксиомы.
